La Sucesión de Fibonacci y el número de oro

Quiero presentaros a un pedazo de irracional, un número que se esconde detrás de los pétalos de una flor, entre partituras musicales, tras las obras de Leonardo da Vinci o de Salvador Dalí, que define la dinámica de los agujeros negros y la estructura microscópica de algunos cristales:

El número áureo o de oro, o número dorado, o sección áurea, o razón áurea, o razón dorada, o media áurea, o proporción áurea o divina proporción. Se representa por la letra griega Φ (phi, en honor al escultor griego Fidias):

Se trata efectivamente de un número irracional, con infinitas cifras decimales no periódicas, que se origina a través de una secuencia numérica llamada sucesión de Fibonacci.

Leonardo de Pisa (conocido como Fibonacci, filius Bonacci, es decir el hijo de Bonacci) nace en Pisa, hacia 1170 y muere sobre 1250. Al ser su padre representante comercial de la ciudad de Pisa en Argelia, estuvo en contacto con la cultura árabe, interesándose especialmente por sus matemáticas. Su obra principal fue el Liber Abaci (o Libro acerca del Ábaco). En ella aparece (pgs. 123 y 124) un problema sobre el nacimiento de conejos y que nada tuvo de significativo hasta que, a comienzos del siglo pasado, fue objeto de numerosos estudios. Fibonacci propuso el siguiente problema:

"Tenemos una pareja de conejos, si, en cada parto obtenemos una nueva pareja y cada nueva pareja tarda un mes en madurar sexualmente y el embarazo dura un mes, ¿Cuantas parejas tendremos en 12 meses?" Solución:

Todas las parejas del mes anterior son fértiles en el mes siguiente. Hay tantos nacimientos como parejas fértiles en el mes anterior. El número total de parejas de un mes es la suma de las parejas del mes anterior más los nacimientos del mes presente. Sólo los nacimientos son parejas no fértiles durante un mes:

	1º	2º	3º	4º	5º	6º	7º	8º	9º	10º	11º	12º
Pareja Fértiles		1	1	2	3	5	8	13	21	34	5	89
Nacimientos	1		1	1	2	3	5	8	13	21	34	55
TOTAL	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144

En honor de Fibonacci, esta sucesión recibe su nombre. La sucesión de Fibonacci, muy conocida y usada en matemáticas, se construye de la siguiente manera: La sucesión empieza con dos unos y cualquier término de la sucesión se obtiene de sumar los dos anteriores. La sucesión es infinita:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,

17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229,...

En esta secuencia aparece Φ = 1´618033988 ...

¿Pero dónde está este misterioso número?. Muy fácil, dividiendo cada término de la sucesión entre el anterior, Esta sucesión de divisiones se aproxima a un número cuyos decimales son infinitos, el número Φ:

1 : 1 = 1 2 : 1 = 2 3 : 2 = 1´5 5 : 3 = 1´66666666...

8 : 5 = 1´6 13 : 8 = 1´625 21 :13 = 1´6153846.... 34 :21 = 1´6190476....

55 : 34 = 1´6176471.... 89 : 55 = 1´6181818.... 144 : 89 = 1´6179775.... 233 : 144 = 1´6180556....

377 : 233 = 1´6180258.... 610 : 377 = 1´6180371.... 987 : 610 = 1´6180328.... 1597 : 987 = 1´6180344...

Pero mucho antes, en la antigua Grecia ya conocían el número Φ, descubi erto por el matemático Euclides:

Euclides buscaba dividir un segmento cualquiera en dos partes desiguales de forma que la razón entre la totalidad del segmento y la parte mayor fuese igual a la razón entre esta parte mayor y la otra parte menor.

Matemáticamente, tomando como unidad la parte menor y llamando x a la parte mayor:

El número

define una proporción, la que se ha dado en llamar Divina Proporción. Divina por

encontrarla en los más diversos lugares de la Naturaleza y en las más extensas obras de arte. Tanto es así que el el astrónomo Johannes Kepler (1571 – 1630), refiriéndose a la divina proporción, y creyente como era, dijo: “no cabe duda de que Dios es un gran matemático”.

El rectángulo áureo se construye manteniendo la proporción divina entre sus lados:

Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale por lo que la proporción entre los dos lados es:

En la antigua Grecia Φ se utilizó para establecer las proporciones de los templos, tanto en su planta como en sus fachadas. Un ejemplo claro es El Partenón. Por aquel entonces, la razón áurea, no recibía ningún nombre especial, ya que era algo tan familiar entre los antiguos griegos que era conocida como "la sección". Fue Leonardo da Vinci quien le diera por primera vez el nombre de sectio áurea. En el Partenón, Fidias también lo aplicó en la composición de las esculturas. Platón (428 – 347 a.C.) consideró la sección áurea como la mejor de todas las relaciones matemáticas y la llave a la física del cosmos.

Hoy en día el rectángulo de oro se puede ver en multitud de diseños, tarjetas de crédito, nuestro DNI, la hoja DIN A4, muebles, camas, en las cajetillas de cigarrillos... En la arquitectura moderna sigue usándose; por ejemplo, está presente en el conocido edificio de la ONU en Nueva York, el cual no es más que un gran prisma rectangular cuya cara mayor sigue la citada proporción.

Si dividimos este rectángulo obteniendo sucesivamente rectángulos áureos cada vez más pequeños, en su interior se va formando la espiral logarítmica o espiral de Durero
Este tipo de espiral surgida del mundo de Φ es muy frecuente en la Naturaleza, desde los microorganismos más diminutos, hasta las galaxias más lejanas, moluscos, conchas, cuernos de carnero y colmillos de elefantes, huracanes, remolinos y fósiles se configuran así, incluso el vuelo de los alcones sigue su silueta mientras el ave se acerca a la presa.

La razón áurea se encuentra también en el pentágono regular y el pentáculo, un símbolo pagano, más tarde acogido por la iglesia católica para representar a la Virgen María:

Gráficamente el número áureo es la relación entre la diagonal y el lado del pentágono regular. Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, y así sucesivamente hasta el infinito.

		La estrella pentagonal o pentágono estrellado era el símbolo de la escuela pitagórica. Pitágoras y los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. Por esta razón consideraron irracional que en su propio símbolo se encontrara un número tan “raro”: el número de oro, Φ.
El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero, Da Vinci, Boticelli y Dalí entre otros. En España, en la Alhambra, en edificios renacentistas como El Escorial ...

Los artistas del Renacimiento utilizaron la sección áurea en múltiples ocasiones tanto en pintura, escultura como arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza.

Leonardo da Vinci, por ejemplo, la utilizó para definir todas las proporciones fundamentales en su pintura La última cena, desde las dimensiones de la mesa, hasta la disposición de Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de las paredes y ventanas al fondo. En su cuadro de La Gioconda (o Mona Lisa) utilizó rectángulos áureos para plasmar el rostro de Mona Lisa, empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo. También aparece Φ en el Hombre de Vitruvio, “hombre perfecto”, como relación entre las articulaciones de éste, además, el cociente entre el lado del cuadrado, (altura del hombre), y el radio de la circunferencia que tiene por centro el ombligo,

(altura de su ombligo), es el número de oro. El hombre perfecto es un segmento áureo, con el ombligo como punto de división.

Hay muchos lugares de la Naturaleza, (de algunos de ellos ya he hablado), regidos por la secuencia de Fibonacci y Φ. Pero hay muchos más:

µ La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.

µ La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las

secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).

µ La disposición ramificada de flores y árboles.

µ La mayoría de flores poseen 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 pétalos. Números de la sucesión de Fibonacci.

µ La cantidad de hojas para dar un giro completo al tallo sigue la secuencia de Fibonacci.

µ En la semilla de muchas plantas. El ángulo que separa a dos brotes consecutivos que salen de ella es el
resultado

de la división

De esta forma la planta se asegura que dos brotes no caen uno encima

de otro aprovechando mejor la luz solar.

µ En el corazón de muchas flores como las Margaritas o los girasoles podemos ver espirales cuyo número en

ambos sentidos se corresponden con números de fibonacci correlativos. Naturalmente las espirales son de

tipo logarítmico. Con esta disposición se aprovecha el espacio horizontal más eficientemente.

µ La distancia entre las espirales de una piña.

µ La Anatomía de los humanos se basa en una relación Φ exacta:

¶ La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.

¶ La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.

¶ La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.

¶ La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera

y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es phi.

¶ La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz

¶ Es phi la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar

¶ Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la

tráquea se obtiene phi, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).

¶ Está comprobado que la mayor cantidad de números phi en el cuerpo y el rostro hacen que la mayoría de

las personas reconozcan a esos individuos como guapos, bellos y proporcionados. Si se miden los

números phi de una población determinada y se la compara con una población de modelos publicitarios,

estos últimos resultan acercarse más al número phi

µ En los últimos años se ha descubierto un nuevo tipo de cristales que mantienen la proporción divina en su

geometría.

µ Por último un nuevo descubrimiento que aun está por resolver: Un agujero negro pasa de calentarse a

enfriarse cuando el cuadrado de su masa dividido entre cuadrado de la velocidad con que rota da como

resultado Φ.

Hemos explicado que la sucesión de Fibonacci y la proporción áurea han sido utilizadas en las más extensas obras de arte. De algunas de ellas ya hemos hablado. Otras quiero destacarlas ahora:

µ Relaciones arquitectónicas en las Pirámides de Egipto. Los egipcios ya conocían esta proporción y la usaron en la

arquitectura de la pirámide de Keops (2600 años a.C.).

µ En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
µ En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándoseen equilibrios de masas sonoras).

µ Arte Póvera, movimiento artístico italiano de los años 1960, muchas de cuyas obras se basan en esta sucesión.

µ Autores como Bártok, Messiaen y Stockhausen, entre otros, compusieron obras cuyas unidades formales se

relacionan (a propósito) con la sección áurea.

µ El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizó también el número áureo en su obra Alcancías,

para organizar las partes (unidades formales).

µ El grupo de rock progresivo norteamericano Tool, en su disco Laterales (2001) hacen múltiples referencias al

número áureo y a la secuencia de Fibonacci, sobre todo en la canción que da nombre al disco, pues los versos de

la misma están cantados de forma que el número de sílabas pronunciadas en cada uno, van componiendo dicha

secuencia. Además la voz entra en el minuto 1:37, que pasado al sistema decimal coincide muy

aproximadamente con el número áureo.

µ En la pág. 61 de la novela de Dan Brown, El código Da Vinci, aparece una versión desordenada de los primeros

ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5).

Es asombroso los innumerables y diversos lugares de la Naturaleza en los que la secuencia de Fibonacci y Φ aparecen, y la enorme cantidad de obras de arte en las que la proporción áurea ha sido utilizada. ¿Crees que es pura casualidad?.